Overview

ပျံသန်းနေသော vehicle တစ်ခု၏ equations of motion ကို derivative များအတွက် ရှင်းလင်းစွာ ဖြေရှင်းထားသော simultaneous first-order differential equation အစုတစ်ခုအဖြစ် စီစဉ်နိုင်ပါသည်။ (position, velocity စသည်၏ component များကဲ့သို့) independent variable \(n\) ခု ဖြစ်သော \(x_i\) နှင့် (throttle, control surface deflection စသည်ကဲ့သို့) control input \(m\) ခု ဖြစ်သော \(u_i\) တို့အတွက်၊ ယေဘုယျ form မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါလိမ့်မည်-

\[ \left\{ \begin{array}{rl} \dot{x}_1 & {}= f_1\big( x_1\,,\, x_2\,,\, \ldots \,,\,x_n\,,\,u_1\,,\, u_2\,,\, \ldots \,,\,u_m \big) \\ \dot{x}_2 & {}= f_2\big( x_1\,,\, x_2\,,\, \ldots \,,\,x_n\,,\,u_1\,,\, u_2\,,\, \ldots \,,\,u_m \big) \\ \cdots & \quad \cdots \\ \dot{x}_n & {}= f_n\big( x_1\,,\, x_2\,,\, \ldots \,,\,x_n\,,\,u_1\,,\, u_2\,,\, \ldots \,,\,u_m \big) \end{array} \right. \label{eq:EoM:ODE} \]

ဤနေရာတွင် function \(f_i\) များသည် vehicle ၏ actual subsystem များကို model ပြုလုပ်ရာမှ ထွက်ပေါ်လာသော nonlinear function များ ဖြစ်ပါသည်။ Variable \(x_i\) များသည် ပေးထားသော input \(u_i\) များနှင့်အတူ system ၏ အမူအကျင့်ကို အပြည့်အစုံ ဖော်ပြနိုင်သော (ဆိုလိုသည်မှာ အချိန်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ evolution ကို deterministic အနေဖြင့် တွက်ချက်နိုင်သော) variable အစုအနိမ့်ဆုံးကို ဖွဲ့စည်းပြီး system အတွက် state variable အစု ဟု ခေါ်ပါသည်၊ ထို့ပြင် Equation (\(\ref{eq:EoM:ODE}\)) သည် system ၏ state-space ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်ပါသည်။ Function \(f_i\) များသည် single-valued continuous function များ ဖြစ်ပါသည်။ Equation (\(\ref{eq:EoM:ODE}\)) ကို မကြာခဏ symbol ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးလေ့ရှိပါသည်-

\[ \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}\big( \boldsymbol{x}\,,\,\boldsymbol{u} \big) \label{eq:EoM:ODE:Compact} \]

ဤနေရာတွင် state vector \(\boldsymbol{x}\) သည် state variable \(n\) ခု၏ \(n \times 1\) column array ဖြစ်ပြီး၊ control vector \(\boldsymbol{u}\) သည် control variable များ၏ \(m \times 1\) column array ဖြစ်ကာ၊ \(\boldsymbol{f}\) သည် nonlinear function array တစ်ခု ဖြစ်ပါသည်။

\(\boldsymbol{u}\) ကို ပုံသေ ထားသည့်အခါ၊ nonlinear state equation (\(\ref{eq:EoM:ODE}\)) များ (သို့မဟုတ် ၎င်း၏ subset တစ်ခု) သည် ပုံမှန်အားဖြင့် multidimensional state နှင့် control space ထဲတွင် ပေးထားသော state variable derivative အစုတစ်ခု သုညဖြစ်သွားသော (ပုံမှန်အားဖြင့် translational သို့မဟုတ် angular acceleration ဟု အဓိပ္ပာယ်ရှိသော derivative များ) equilibrium point တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပို ရှိလေ့ရှိပါသည်။

State-space formulation ၏ အဓိက အားသာချက်တစ်ခုမှာ nonlinear state equation များကို numerically ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း ဖြစ်ပါသည်။ အရိုးရှင်းဆုံး numerical solution method မှာ Euler integration ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားပါသည်-

\[ \boldsymbol{x}(t_{k+1}) = \boldsymbol{x}(t_k) + \boldsymbol{f}\big( \boldsymbol{x}_k\,,\,\boldsymbol{u}_k \big) \, \Delta t \label{eq:EoM:ODE:Euler:Integration} \]

ဤနေရာတွင် \(\boldsymbol{x}(t_k)\) သည် သတ်မှတ်ထားသော initial condition \(\boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0\) မှ စတင်ကာ \(k = 0,1,2, \ldots\) ဖြင့် discrete time \(t_k = k \Delta t\) တွင် တွက်ချက်ထားသော state vector ၏ value ဖြစ်ပါသည်။ Integration time step \(\Delta t\) ကို \(\Delta t\) interval တစ်ခုစီအတွက် \(\boldsymbol{u}\) ကို ပုံသေ value \(\boldsymbol{u}(t_k)\) ဖြင့် approximate ပြုလုပ်နိုင်ပြီး \(\dot{\boldsymbol{x}} \Delta t\) သည် state vector ၏ increment ကို ကောင်းမွန်စွာ approximate ပြုလုပ်ပေးနိုင်လောက်အောင် သေးငယ်အောင် ပြုလုပ်ရပါမည်။ ဤ numerical integration က state vector ကို \(\Delta t\) time increment များဖြင့် ရှေ့ဆက်တိုးစေကာ time-history simulation တစ်ခု ရရှိစေပါသည်။

---

ဖြည့်စွက်ရန် ကျန်ရှိနေသည် (TBD)